线代的内容还是推荐3b1b的视频。是我看过关于线性代数最直观易懂的视频了
【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集

笔记

线性

线性方程：一次方程，具有线性关系的方程，具有可加性、比例性
线性空间：直线变换后依然直线，保持等比。坐标原点不变
非线性空间：空间扭曲，不是等距。坐标原点带偏移

解方程组

矩阵用来解线性方程组对于： $\begin{cases} 2x+3y=1 \newline x+y=2 \newline \end{cases}$ 这么一个方程组。可以构造如下矩阵
$\left[\begin{matrix} 2&3\newline 1&1\newline \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x\newline y\newline \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} 1\newline 2\newline \end{matrix}\right] $
转化为求$ \left[\begin{matrix} x\newline y\newline \end{matrix}\right]$向量的计算
写为增广矩阵形式 $ \left[\begin{matrix} 2&3&1\newline 1&1&2\newline \end{matrix}\right]$
每行间进行线性计算得到 $ \left[\begin{matrix} 1&0&5\newline 0&1&-3\newline \end{matrix}\right]$
最后得到 $\begin{cases} x+0y=5\newline 0x+y=-3\end{cases}$ 即 $\begin{cases}x=5\newline y=-3\end{cases}$
实际上是将方程组转化为空间下的向量，解方程组就是将空间转换为标准坐标系下，拆解成每个独立的分量，最后得到的就是方程组的解

矩阵定义

m行n列元素的排列，形成$m \times n$的矩阵

特殊矩阵

方阵：行列数量相等的矩阵
单位阵：左上到右下对角线元素为1，其他元素为0的矩阵（方阵）
零矩阵：所有元素都是0的矩阵

矩阵加/减

同行矩阵间的操作（两个矩阵的行跟列个数都一样）。
计算方式为，两个矩阵对应位置元素相加/减，满足交换律、结合律

矩阵数乘/除

矩阵的每个元素乘/除上系数k

矩阵相乘

需要满足左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数
计算方式：结果C为$ \begin{align} C=(c_{ij}): c_{ij}=a_{i*} \cdot b_{*j} && (i=1...,m;j=1...,n) \end{align} $
A的每个行向量和B的每个列向量做点积
运算规则：从右往左计算。满足结合律但不满足交换律。满足分配律

转置

将矩阵行列元素交换。每个元素$a_{i,j}$变换为$a_{j,i}$
.直观表现为矩阵元素沿着45°对角线翻转位置
特性：
$(AB)^T=B^TA^T$
$(A+B)^T=A^T+B^T$
$(A^T)^T=A$

逆矩阵

$A \times A^{-1} = 1$
矩阵乘上他的逆矩阵得到单位阵
乘上一个矩阵的逆相当于进行逆向变换特性：
$(A^{-1})^{-1}=A$
$kA可逆,k\neq 0，(kA)^{-1}=\frac{1}{k} A^{-1}$
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$

几种基本变换矩阵

纵向拉伸：$\left[\begin{matrix}1&0\newline 0&c\end{matrix}\right]$
缩放：$\left[\begin{matrix}x&0\newline 0&y\end{matrix}\right]$
斜切：$\left[\begin{matrix}1&k\newline 0&1\end{matrix}\right]$
旋转：$\left[\begin{matrix}cos\theta & -sin\theta \newline sin\theta &cos\theta \end{matrix}\right]$
镜像：$\left[\begin{matrix}0&1\newline 1&0\end{matrix}\right]$
位移：$\left[\begin{matrix}1&0&x\newline 0&1&y \newline 0&0&1\end{matrix}\right]$

作业

矩阵运算的几何意义

矩阵运算就是坐标变换。复杂的变换矩阵可以通过简单的变换矩阵相结合产生。

矩阵计算公式

数乘 $kA_{i,j}=\left[\begin{matrix} k\cdot a_{11}&k\cdot a_{12}&\cdots&k\cdot a_{1j}\newline k\cdot a_{21}&k\cdot a_{22}&\cdots&k\cdot a_{2j}\newline \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\newline k\cdot a_{i1}&k\cdot a_{i2}&\cdots&k\cdot a_{ij}\newline \end{matrix}\right]$
相加 $A_{i,j}+B_{i,j}=\left[\begin{matrix} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots&a_{1j}+b_{1j}\newline a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots&a_{2j}+b_{2j}\newline \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\newline a_{i1}+b_{i1}&a_{i2}+b_{i2}&\cdots&a_{ij}+b_{ij}\newline \end{matrix}\right]$
相乘 $A_{m,n}\times B_{n,p}=\left[\begin{matrix} a_{11}\times b_{11}+a_{12}\times b_{21}+\cdots +a_{1n}\times b_{n1} & \cdots & a_{11}\times b_{n1}+a_{12}\times b_{n2}+\cdots +a_{1n}\times b_{np}\newline \vdots & \ddots & \vdots \newline a_{m1}\times b_{11}+a_{12}\times b_{21}+\cdots +a_{mn}\times b_{n1} & \cdots & a_{m1}\times b_{n1}+a_{12}\times b_{n2}+\cdots +a_{mn}\times b_{np}\newline \end{matrix}\right]$

TA百人计划 图形 1.2.2 矩阵运算

笔记

线性